RANGO DE UNA MATRIZ (FORMULARIOS)

Rango de una matriz

Dependencia Lineal (de filas o columnas)

Dada una matriz $A$ de $m$ filas y $n$ columnas. Se dice que una fila (columna) de la matriz, depende linealmente de otra/as filas (columnas) de esa matriz, si se puede expresar como una combinación lineal de ella/as. En particular, si dos filas (columnas) son linealmente dependientes, son proporcionales. Si son linealmente independientes, no son proporcionales.

Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss:

El método de Gauss para el cálculo del rango de una matriz consiste en aplicar transformaciones elementales a las filas (columnas) con el fin de obtener una matriz escalonada.

El rango de una matriz es igual al número de filas no nulas de la matriz escalonada (coincide con el número de filas linealmente independientes de las matriz). El rango de una matriz vale 0 si la matriz es la matriz nula. En cualquier otro caso, el rango de la matriz es un número mayor o igual a 1 y menor o igual que el mínimo entre el número de filas y de columnas de la matriz.

Las transformaciones elementales de filas (columnas) que dejan invariante el rango son:

• Intercambiar dos filas o columnas de la matriz.
• Multiplicar o dividir una fila o columna de la matriz por un número distinto de cero.
• Sumar o restar a una fila o columna otra multiplicada por un número real cualquiera.

El rango de una matriz no varía si se suprimen:

• Las filas o columnas nulas.
• Las filas o columnas proporcionales a otras.
• Las filas o columnas que dependen linealmente de otras.

Ejemplo (#1)

Dada la matriz $A=\left (\begin{matrix} -1 & 1 & 3\\-2 & 2 & -6\\-3 & 3 & -9 \end{matrix}\right )$

Aplicando el método de Gauss para escalonar la matriz:

$$\left (\begin{matrix} -1 & 1 & 3\\-2 & 2 & -6\\-3 & 3 & -9 \end{matrix}\right) \xrightarrow[\begin{matrix} F_{2}^{'}=F_{2}-2F_{1}\\F_{3}^{'}=F_{3}-3F_{1}\end{matrix}]{} \left ( \begin{matrix} -1 & 1 & 3\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 \end{matrix}\right ) \Rightarrow rango(A)=1.$$

Ejemplo (#2)

Dada la matriz $B=\left (\begin{matrix} -1 & 2 & 1 & 2 & 3\\ 2 & -4 & 0 & 2 & 3\\ 1 & -1 & -2 & 0 & 2\\ 3 & -4 & -3 & 4 & 10 \end{matrix}\right )$

Aplicando el método de Gauss para escalonar la matriz:

$$\left (\begin{matrix} -1 & 2 & 1 & 2 & 3\\ 2 & -4 & 0 & 2 & 3\\ 1 & -1 & -2 & 0 & 2\\ 3 & -4 & -3 & 4 & 10 \end{matrix}\right ) \xrightarrow[\begin{matrix} F_{2}^{'}=F_{2}+2F_{1}\\F_{3}^{'}=F_{3}+F_{1}\\F_{4}^{'}=F_{4}+3F_{1}\\\end{matrix}]{}$$

$$\left (\begin{matrix} -1 & 2 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 2 & 6 & 9\\ 0 & 1 & -1 & 2 & 5\\ 0 & 2 & 0 & 10 & 19 \end{matrix}\right ) \xrightarrow[\begin{matrix} F_{2} \leftrightarrow F_{3}\\ \end{matrix}]{}$$

$$\left (\begin{matrix} -1 & 2 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & -1 & 2 & 5\\ 0 & 0 & 2 & 6 & 9\\ 0 & 2 & 0 & 10 & 19 \end{matrix}\right ) \xrightarrow[\begin{matrix} F_{4}^{'}=F_{4}-2F_{2}\\ \end{matrix}]{}$$

$$\left (\begin{matrix} -1 & 2 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & -1 & 2 & 5\\ 0 & 0 & 2 & 6 & 9\\ 0 & 0 & 2 & 6 & 9 \end{matrix}\right ) \xrightarrow[\begin{matrix} F_{4}^{'}=F_{4}-F_{3}\\ \end{matrix}]{}$$

$$\left (\begin{matrix} -1 & 2 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & -1 & 2 & 5\\ 0 & 0 & 2 & 6 & 9\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right ) \Rightarrow rango(B)=3.$$

Para saber más, puedes ver el siguiente esquema en formato .pdf